この記事は参考文献[1]を大いに参考にしました。重力もゲージ論的に捉えることができて、ゲージ理論を拡張することで考えることができます。ゲージ変換として、一般座標変換で考えたものが重力のゲージ理論になります。（スピノル場はこの方法では扱えません…

ゲージ理論は数学的にはファイバー束の言葉で記述されます。今回は主ファイバー束の定義をしていきます。 主ファイバー束の定義 射影 構造群の作用 局所自明性 参考文献 主ファイバー束の定義 上の-主ファイバー束とは、まず、が級微分可能多様体であり、が…

リー群は様々なところで耳にします。今回の記事では、ゲージ理論の数学的定式化に向けて、リー群周りのことについて簡単にまとめていきます。 リー群の定義 左移動と右移動 左不変ベクトル場 リー群の定義 群が級可微分多様体としての構造をもち、群演算 と …

多様体ではスカラーだったりベクトルだったりテンソルを考えましたが、これらを利用することで多様体が多様体自体を自分自身で、内在的に計る(測る)ことができます。そのために計量テンソルというものがまず重要になってきます。 計量テンソル 正規直交化 逆…

地図を貼り付けられる多様体上にはスカラーやベクトル、テンソルの構造が表れてきます。 多様体上の関数(スカラー場) 多様体間の写像 多様体上の反変(接)ベクトル 多様体上の反変ベクトル場 多様体上の共変(余接)ベクトル(コベクトル) 多様体上の共変ベクト…

一般相対論の舞台は時空、そして時空は多様体です。(正確に言えばローレンツ多様体です。) つまり、多様体論を学ぶことは一般相対論を学ぶ上で必須となってきます。この記事の読者の対象は一般相対論を学ぼうとしている人とします。多様体というのは簡単いえ…

2020年、あけましておめでとうございます。新年になったので、リーマン幾何であらわれる形作用素というものを解説したいと思います。 ガウスの公式 ワインガルテンの公式 ガウスの公式 の多様体とユークリッド空間へのはめこみがあるとします。リーマン計量…