【一般相対性理論】時空のADM分解

相対論においては時空は時間も空間も平等にして扱っています。しかし、時間一定面で時空を分割していき、時間発展を追うこともできます。これは相対論を正準形式で記述しようと思うと必要となることです。このように、 $D$ 次元時空 $\mathcal M$ を $D-1$ 次元時間一定面 $\Sigma_t$ で分解することをアーノウィット-デザー-マイスナー*1(ADM)分解といいます。

時間一定面
計量のADM分解

時間一定面

時空 $\mathcal M$ の時間 $t$ が一定である超曲面を $\Sigma_t$ とします。

$\displaystyle \mathcal M=\bigcup_t \Sigma_t$

$t\not=t'\Rightarrow \Sigma_t \bigcap \Sigma_{t'}=\varnothing$

$\Sigma_t$ を $D-1$ 次元の部分多様体とみて、この $\Sigma_t$ 上の計量を定めることができます。 $\Sigma_t$ に座標 $(y^i)(i=1,\cdots,D-1)$ を貼り、この座標での計量を $\gamma_{ij}dy^i\otimes dy^j$ とします。この $\gamma_{ij}$ は $\mathcal M$ 上に張り付けた座標 $(x^\mu)$ での計量成分 $g_{\mu\nu}$ の空間成分とは一般には異なるのですが、今は時間一定面であり、 $y^i=x^i$ とすると一致します。 $e^\mu_i:=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^i}$ とすると、 $\gamma_{ij}=e^\mu_i e^\nu_j g_{\mu\nu}$ と書けます。

計量のADM分解

ベクトル場は超曲面に直交する成分と超曲面上の成分に分解することができますね。 $\Sigma_t$ と $\Sigma_{t+dt}$ の点を結ぶ世界間隔 $ds^2$ (時間的または空間的)を考えてみます。 $\Sigma_t$ の法線ベクトル場を $\boldsymbol n=n^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ とし、符号を $\epsilon(\boldsymbol n)=g_{\mu\nu}n^\mu n^\nu=\pm 1$ とします。すると、世界間隔の $\Sigma_t$ 上の端点から法線ベクトル場に平行に $\Sigma_{t+dt}$ まで関数倍できます。その関数をラプス関数 $N$ といいます。今度は、世界間隔を $\Sigma_t$ 上に射影すると、その射影された成分はある $\Sigma_t$ 上のベクトル場 $\boldsymbol N=N^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ を用いて、 $\gamma_{ij}(dx^i+N^idt)(dx^j+N^jdt)$ と計量されます。このベクトル場をシフトベクトル $\boldsymbol N$ といいます。そうすると、 $\mathcal M$ 上の世界間隔としては次のように計量されます。