【一般相対性理論】一般相対性理論の変分原理

一般相対性理論とは、重力の仕組みは実は質量のある物質の存在が時空間を歪めることにより物体に力が働いているようにみえる、という革新的で美しい微分幾何学的なアインシュタインが作った理論です。今回はその基礎方程式であるアインシュタイン方程式を変分原理から導きます。

ニュートン重力とのアナロジー
アインシュタイン重力の類推
変分の計算の方針
重力場の変分の計算
物質場の変分の計算
アインシュタイン方程式

$\newcommand{\bm}{\boldsymbol}$

ニュートン重力とのアナロジー

アインシュタインによる重力の見方以前の、重力理論をニュートン重力といい、一般相対論による重力をアインシュタイン重力といいます。ニュートン重力のラグランジアン密度は $\mathcal L=\mathcal L_g +\mathcal L_m=-\frac{1}{8\pi G}(\nabla\phi)^2 -\rho\phi$ で作用は、今は平坦な時空上なので, $S=\int_\Omega \mathcal L \ d\Omega=\int_\Omega (-\frac{1}{8\pi G}(\nabla\phi)^2 -\rho\phi)\ d\Omega$ となります。変分原理から

$\displaystyle 0=\delta S=\int_\Omega \left(-\frac{1}{8\pi G}\delta(\nabla\phi)^2 -\rho\delta\phi\right)\ d\Omega$

$\displaystyle =\int_\Omega \left(\frac{1}{4\pi G}\Delta\phi -\rho\right)\delta\phi \ d\Omega$

$\displaystyle \therefore \Delta\phi=4\pi G\rho$

と正しくニュートン重力のポアソン方程式が得られます。このように空間に関する $\mathcal L_g$ と物質分布に関する $\mathcal L_m$ の和で書けていたのでこのアナロジーで一般相対論的なラグランジアン密度も時空間と物質分布のラグランジアン密度の和でかけるはずです。

アインシュタイン重力の類推

アインシュタイン方程式を導く作用を類推するために、次のように考えます。まず、重力が時空間の歪みであるという原理から、時空という多様体を特徴づける変数として、計量テンソル場の成分 $g_{\mu\nu}$ を考えます。そして、局所ローレンツ系がとれることから時空は(4次元)ローレンツ多様体であると期待されます。また計量が保存することと捩れがないなどの自然な要請から、接続係数が第二種クリストッフェル記号で与えられることがわかります。そして、重力場のラグランジアン密度は場 $g_{\mu\nu}$ および場の1階微分 $\partial_\lambda g_{\mu\nu}$ と2階微分 $\partial_\kappa \partial_\lambda g_{\mu\nu}$ から構成される(ただし, 2階微分については1次)と類推します。そうすると、「場 $g_{\mu\nu}$ ,1階微分 $\partial_\lambda g_{\mu\nu}$ ,2階微分 $\partial_\kappa \partial_\lambda g_{\mu\nu}$ から構成され,2階微分は1次であるようなスカラー場は一般に $aR+b$ とかける。」( $R$ はリッチスカラー)という定理を用います。この定理の証明には局所ローレンツ系と適当な座標変換を用いることでできます。重力の歪みを与える物質場のラグランジアン密度を $\mathcal L_m$ とします。アインシュタイン方程式を導くラグランジアン密度は $\mathcal L=\mathcal L_g +\mathcal L_m=\frac{c^4}{16\pi G}(R-2\Lambda) +\mathcal L_m$ と類推されます。係数は非相対論的極限でニュートン重力のポアソン方程式に一致するように決められます。ここでは天下り的に先に係数を与えておくことにします。

変分の計算の方針

一般相対性原理から、作用は不変量となるように $S=(1/c )\int_\Omega \mathcal L \sqrt{-g} \ d\Omega$ となります(座標変換をしても作用が不変になるように $\sqrt{-g}$ がかかっています)。物理法則(基礎方程式)は、変分原理から

$\displaystyle 0=\delta S=\frac{1}{c}\int_\Omega \delta(\mathcal L \sqrt{-g})\ d\Omega$

$\displaystyle =\frac{c^3}{16\pi G}\int_\Omega \delta(\sqrt{-g}({R}-2\Lambda)) \ d\Omega +\frac{1}{c}\int_\Omega \delta({\sqrt{-g}\mathcal L_m}) \ d\Omega$

を満たすようなものとなります。 $\delta g_{\mu\nu}$ で変分をとり、次の形になったとき、

$\displaystyle \delta S_g+\delta S_m=-\frac{c^3}{16\pi G}\int_\Omega (G^{\mu\nu} +C^{\mu\nu})\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}\ d\Omega+\frac{1}{2c}\int_\Omega T^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}\ d\Omega$

一般相対論における物理法則の方程式が

$\displaystyle G^{\mu\nu}+C^{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T^{\mu\nu}$

となるわけです。よって、 $G^{\mu\nu}$ , $C^{\mu\nu}$ , $T^{\mu\nu}$ を具体的に求める、すなわち $\delta \sqrt{-g}$ や $\delta R$ などを $\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}$ を‘吐き出す’まで計算していくことが一般相対論の基礎方程式(アインシュタイン方程式)を導出する方針となります。

重力場の変分の計算

以下ひたすら計算を実行していきます。

$\delta S_g=-\frac{c^3}{16\pi G}\int_\Omega (G^{\mu\nu} +C^{\mu\nu})\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}\ d\Omega$

$G^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}:=\delta (\sqrt{-g}R)=\sqrt{-g}\delta R+R\delta\sqrt{-g}=\sqrt{-g}(g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}+R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu})+R\delta\sqrt{-g}$

$C^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}:=\delta (-2\Lambda\sqrt{-g})=-2\Lambda\delta \sqrt{-g}$

なので $\delta g^{\mu\nu}$ , $\delta g$ , $\delta \sqrt{-g}$ , $\delta R_{\mu\nu}$ を計算すればよいです。( $\delta g$ は $\delta \sqrt{-g}$ を求めるために用います。)

$\delta g^{\mu\nu}$ の計算

$(g^{\mu\nu}+\delta g^{\mu\nu})(g_{\nu\lambda}+\delta g_{\nu\lambda})=\delta^\mu_\lambda=g^{\mu\nu}g_{\nu\lambda}$

$g_{\nu\lambda}\delta g^{\mu\nu}=-g^{\mu\nu}\delta g_{\nu\lambda}$

$g_{\nu\lambda}g^{\lambda\kappa}\delta g^{\mu\nu}=-g^{\mu\nu}g^{\lambda\kappa}\delta g_{\nu\lambda}$

\begin{equation}
\delta g^{\mu\nu}=-g^{\mu\lambda}g^{\nu\kappa}\delta g_{\lambda\kappa}
\end{equation}

$\delta g \ (g:=\det(g_{\mu\nu}))$ の計算

$\delta g=\det(g_{\mu\nu}+\delta g_{\mu\nu}) - \det(g_{\mu\nu})=\det(g_{\mu\nu}(E+(g^{\mu\nu})(\delta g_{\mu\nu}))) - \det(g_{\mu\nu})$

$=\det(g_{\mu\nu})\det(E+(g^{\mu\nu})(\delta g_{\mu\nu})) - \det(g_{\mu\nu})=g(\det(E+(g^{\mu\lambda}\delta g_{\lambda\nu})) - 1))$

ここで, 次の近似をが成り立つことを用います。

$\det(E+(g^{\mu\lambda}\delta g_{\lambda\nu}))\approx (1+g^{0\lambda} \delta g_{\lambda0})(1+g^{1\lambda} \delta g_{\lambda1})(1+g^{2\lambda} \delta g_{\lambda2})(1+g^{3\lambda} \delta g_{\lambda3})$

$\approx 1 + g^{\mu\nu} \delta g_{\nu\mu}=1 + g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}$

\begin{equation}
\delta g=g g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}
\end{equation}

$\delta\sqrt{-g}$ の計算

$\delta\sqrt{-g}=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}g g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}$

\begin{equation}
\delta \sqrt{-g}=\frac{1}{2}\sqrt{-g} g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}
\end{equation}

ここで,微分であっても同様の計算なので次の式がなりたつ.

$\partial_\lambda \sqrt{-g}=\frac{1}{2}\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_\lambda g_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\sqrt{-g}(g^{\mu\nu}\partial_\mu g_{\lambda\nu}+g^{\mu\nu}\partial_\lambda g_{\mu\nu}-g^{\mu\nu}\partial_\mu g_{\nu\lambda})$

$=\sqrt{-g}\frac{1}{2}g^{\mu\nu}(\partial_\mu g_{\lambda\nu}+\partial_\lambda g_{\mu\nu}-\partial_\nu g_{\mu\lambda})$

いま考えている時空間は計量が保存し, 捩率がゼロだとすると接続係数はクリストッフェルの記号で与えられるから, $\Gamma^\mu_{\mu\nu}=(1/2)g^{\mu\nu}(\partial_\mu g_{\lambda\nu}+\partial_\lambda g_{\mu\nu}-\partial_\nu g_{\mu\lambda})$ であるゆえ,

\begin{equation}
\Gamma^\mu_{\mu\nu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\nu \sqrt{-g}
\end{equation}

ここで, あるベクトルの成分 $V^\mu$ について, $\nabla_\mu V^\mu$ を考える.

$\nabla_\mu V^\mu=\partial_\mu V^\mu + \Gamma^\mu_{\mu\nu} V^\nu$

$=\partial_\mu V^\mu +\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\nu \sqrt{-g}V^\nu=\partial_\mu V^\mu +\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu \sqrt{-g}V^\mu$

\begin{equation}
\nabla_\mu V^\mu=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu (\sqrt{-g}V^\mu)
\end{equation}

$\delta R_{\mu\nu}$ の計算

$R_{\mu\nu}=R^\lambda_{\mu\lambda\nu}=\partial_\lambda \Gamma^\lambda_{\nu\mu} -\partial_\nu \Gamma^\lambda_{\lambda\mu} +\Gamma^\lambda_{\lambda\kappa} \Gamma^\kappa_{\nu\mu} -\Gamma^\lambda_{\nu\kappa} \Gamma^\kappa_{\lambda\mu}$

$\delta R_{\mu\nu}=\partial_\lambda \delta\Gamma^\lambda_{\nu\mu} -\partial_\nu \delta\Gamma^\lambda_{\lambda\mu} +\delta(\Gamma^\lambda_{\lambda\kappa} \Gamma^\kappa_{\nu\mu}) -\delta(\Gamma^\lambda_{\nu\kappa} \Gamma^\kappa_{\lambda\mu})$

$=\partial_\lambda \delta\Gamma^\lambda_{\nu\mu} -\partial_\nu \delta\Gamma^\lambda_{\lambda\mu} +\Gamma^\kappa_{\nu\mu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\kappa}+\Gamma^\lambda_{\lambda\kappa} \delta\Gamma^\kappa_{\nu\mu} -\Gamma^\kappa_{\lambda\mu}\delta\Gamma^\lambda_{\nu\kappa} -\Gamma^\lambda_{\nu\kappa} \delta\Gamma^\kappa_{\lambda\mu}$

$=\partial_\lambda \delta\Gamma^\lambda_{\nu\mu} +\Gamma^{\lambda}_{\kappa\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\nu\mu}-\Gamma^{\kappa}_{\nu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\kappa\mu}-\Gamma^{\kappa}_{\mu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\nu\kappa}-(\partial_\nu \delta\Gamma^\lambda_{\lambda\mu}+\Gamma^{\lambda}_{\kappa\nu} \delta\Gamma^\kappa_{\lambda\mu}-\Gamma^{\kappa}_{\lambda\nu} \delta\Gamma^\lambda_{\kappa\mu}-\Gamma^{\kappa}_{\mu\nu} \delta\Gamma^\lambda_{\lambda\kappa})$

$\delta\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ について

$\Gamma^\mu_{\nu\lambda}=\frac{1}{2}g^{\mu\kappa}(\partial_\nu g_{\kappa\lambda}+\partial_\lambda g_{\nu\kappa}-\partial_\kappa g_{\nu\lambda})$

$\delta\Gamma^\mu_{\nu\lambda}=\frac{1}{2}g^{\mu\kappa}(\partial_\nu \delta g_{\kappa\lambda}+\partial_\lambda \delta g_{\nu\kappa}-\partial_\kappa \delta g_{\nu\lambda})+\frac{1}{2}\delta g^{\mu\kappa}(\partial_\nu g_{\kappa\lambda}+\partial_\lambda g_{\nu\kappa}-\partial_\kappa g_{\nu\lambda})$

$=\frac{1}{2}g^{\mu\kappa}(\partial_\nu \delta g_{\kappa\lambda}+\partial_\lambda \delta g_{\nu\kappa}-\partial_\kappa \delta g_{\nu\lambda})-g^{\mu\eta}\frac{1}{2}g^{\tau\kappa}(\partial_\nu g_{\kappa\lambda}+\partial_\lambda g_{\nu\kappa}-\partial_\kappa g_{\nu\lambda})\delta g_{\eta\tau}$

$=\frac{1}{2}g^{\mu\kappa}(\partial_\nu \delta g_{\kappa\lambda}+\partial_\lambda \delta g_{\nu\kappa}-\partial_\kappa \delta g_{\nu\lambda})-g^{\mu\eta}\Gamma^\tau_{\nu\lambda}\delta g_{\eta\tau}$

$=\frac{1}{2}g^{\mu\kappa}\left(\partial_\nu \delta g_{\kappa\lambda}+\partial_\lambda \delta g_{\nu\kappa}-\partial_\kappa \delta g_{\nu\lambda}-2\Gamma^\eta_{\nu\lambda}\delta g_{\eta\kappa}\right)$

$=\frac{1}{2}g^{\mu\kappa}\left(\partial_\nu \delta g_{\kappa\lambda}+\partial_\lambda \delta g_{\nu\kappa}-\partial_\kappa \delta g_{\nu\lambda}-\Gamma^\eta_{\nu\kappa}\delta g_{\eta\lambda}-\Gamma^\eta_{\nu\lambda}\delta g_{\kappa\eta}-\Gamma^\eta_{\nu\lambda}\delta g_{\eta\kappa}-\Gamma^\eta_{\lambda\kappa}\delta g_{\nu\eta}+\Gamma^\eta_{\kappa\nu}\delta g_{\eta\lambda}+\Gamma^\eta_{\kappa\lambda}\delta g_{\nu\eta}\right)$

$=\frac{1}{2}g^{\mu\kappa}\left( (\partial_\nu \delta g_{\kappa\lambda}-\Gamma^\eta_{\nu\kappa}\delta g_{\eta\lambda}-\Gamma^\eta_{\nu\lambda}\delta g_{\kappa\eta})+(\partial_\lambda \delta g_{\nu\kappa}-\Gamma^\eta_{\nu\lambda}\delta g_{\eta\kappa}-\Gamma^\eta_{\lambda\kappa}\delta g_{\nu\eta})-(\partial_\kappa \delta g_{\nu\lambda}-\Gamma^\eta_{\kappa\nu}\delta g_{\eta\lambda}-\Gamma^\eta_{\kappa\lambda}\delta g_{\nu\eta})\right)$

$=\frac{1}{2}g^{\mu\kappa}\left(\nabla_\nu \delta g_{\kappa\lambda}+\nabla_\lambda \delta g_{\nu\kappa}-\nabla_\kappa \delta g_{\nu\lambda}\right)$

$=\frac{1}{2}(\nabla_\nu(g^{\mu\kappa}\delta g_{\kappa\lambda}) +\nabla_\lambda(g^{\mu\kappa}\delta g_{\nu\kappa}) -\nabla_\kappa(g^{\mu\kappa}\delta g_{\nu\lambda}) )$

\begin{equation}
\delta\Gamma^\mu_{\nu\lambda}=\frac{1}{2}(\nabla_\nu(g^{\mu\kappa}\delta g_{\kappa\lambda}) +\nabla_\lambda(g^{\mu\kappa}\delta g_{\nu\kappa}) -\nabla_\kappa(g^{\mu\kappa}\delta g_{\nu\lambda}))
\end{equation}

$\delta\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ はテンソル量になる. よって $\delta\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ は共変微分がとれる.

$\delta R_{\mu\nu}=\delta R_{\nu\mu}=\nabla_\lambda \delta\Gamma^\lambda_{\nu\mu}-\nabla_\nu \delta\Gamma^\lambda_{\lambda\mu}=\nabla_\lambda \delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\nabla_\mu \delta\Gamma^\lambda_{\lambda\nu}$

\begin{equation}
\delta R_{\mu\nu}=\nabla_\lambda \delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\nabla_\mu \delta\Gamma^\lambda_{\lambda\nu}
\end{equation}

ここで $g^{\mu\nu}$ で縮約して上で求めた式を用いれば,

$g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}\nabla_\lambda \delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-g^{\mu\nu}\nabla_\mu \delta\Gamma^\lambda_{\lambda\nu}=\nabla_\lambda (g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu})-\nabla_\mu (g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\nu})$

$=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\lambda (\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu})-\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu (\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\nu})$

\begin{equation}
g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu (\sqrt{-g}(g^{\lambda\nu}\delta\Gamma^\mu_{\lambda\nu}-g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\nu}))
\end{equation}

$G^{\mu\nu}$ の計算

$-G^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}=\sqrt{-g}(g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}+R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu})+R\delta\sqrt{-g}$

今までの計算結果を代入すれば、

$\sqrt{-g}(g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}+R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu})+R\delta\sqrt{-g}$

$=\sqrt{-g}\left(\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu (\sqrt{-g}(g^{\lambda\nu}\delta\Gamma^\mu_{\lambda\nu}-g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\nu}))-R_{\mu\nu}g^{\mu\lambda}g^{\nu\kappa}\delta g_{\lambda\kappa}\right)+\frac{1}{2}R\sqrt{-g} g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}$

$=\partial_\mu (\sqrt{-g}(g^{\lambda\nu}\delta\Gamma^\mu_{\lambda\nu}-g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\nu}))-\sqrt{-g}R^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}+\frac{1}{2}R\sqrt{-g} g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}$

ここでストークスの定理 $\int_\Omega \partial_\mu V^\mu\ d\Omega=\int_{\partial\Omega} V^\mu\ d\Sigma_\mu$ を用いて、

$\int_\Omega \partial_\mu (\sqrt{-g}(g^{\lambda\nu}\delta\Gamma^\mu_{\lambda\nu}-g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\nu}))\ d\Omega=\int_{\partial\Omega} (g^{\lambda\nu}\delta\Gamma^\mu_{\lambda\nu}-g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\nu})\sqrt{-g}\ d\Sigma_\mu$

と表面項になりますが、いま表面 $\partial\Omega$ (3次元超曲面)が無限遠にあるか、あるいは $\partial\Omega$ 上では $\delta g_{\mu\nu}$ は0かつ $\partial_\lambda g_{\mu\nu}=0$ とします。 $\delta g_{\mu\nu}$ で構成される $\delta\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ も0となります。(表面項が残るようなことも考えられて、それは作用のほうに表面項と相殺しあうような項(ギボンズ--ホーキング項)を加えて修正されます。

fumofumobun.hatenablog.jpしたがって, この表面の積分は0となるので落としてよいです。

$-G^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}=-\sqrt{-g}R^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}+\frac{1}{2}R\sqrt{-g} g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}$

$=-\sqrt{-g}R^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}+\frac{1}{2}R\sqrt{-g} g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}=-\left(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g^{\mu\nu}\right)\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}$

\begin{equation}
G^{\mu\nu}=R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g^{\mu\nu}
\end{equation}

$C^{\mu\nu}$ の計算

$-C^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}=-2\Lambda\delta \sqrt{-g}$

$-C^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}=-\Lambda g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} \sqrt{-g}$

\begin{equation}
C^{\mu\nu}=\Lambda g^{\mu\nu}
\end{equation}

$G^{\mu\nu}$ と $C^{\mu\nu}$ が求まりました。したがって、時空間の変分 $\delta S_g$ は、次のように表されます。

\begin{equation}
\delta S_g=-\frac{c^3}{16\pi G}\int_\Omega \left(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g^{\mu\nu}+\Lambda g^{\mu\nu} \right)\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g} \ d\Omega
\end{equation}

物質場の変分の計算

$\delta S_m=\frac{1}{2c}\int_\Omega T^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}\ d\Omega$

$T^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}=2\sqrt{-g}\delta \mathcal L_m+2\mathcal L_m\delta\sqrt{-g}$

なので、今までの計算結果を代入するたけで、形式的には $T^{\mu\nu}$ は求まったことになります。もちろん物質場ごとに計算はしなければなりません。

$T^{\mu\nu}$ の計算

$T^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g}=2\sqrt{-g}\delta \mathcal L_m+\mathcal L_m g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} \sqrt{-g}$

$=\left(2\frac{\delta \mathcal L_m}{\delta g_{\mu\nu}}+\mathcal L_m g^{\mu\nu}\right)\delta g_{\mu\nu} \sqrt{-g}$

\begin{equation}
T^{\mu\nu}=2\frac{\delta \mathcal L_m}{\delta g_{\mu\nu}}+\mathcal L_m g^{\mu\nu}
\end{equation}

したがって, 物質の変分 $\delta S_m$ は、次のように表されます。

\begin{equation}
\delta S_m=\frac{1}{2c}\int_\Omega \left(2\frac{\delta \mathcal L_m}{\delta g_{\mu\nu}}+\mathcal L_m g^{\mu\nu} \right)\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g} \ d\Omega
\end{equation}

アインシュタイン方程式

以上より、一般相対論におけるラグランジアン密度や作用、作用の変分は、

\begin{equation}
\mathcal L=\frac{c^4}{16\pi G}(R-2\Lambda) + \mathcal L_m
\end{equation}
\begin{equation}
S=\frac{1}{c}\int_\Omega \left(\frac{c^4}{16\pi G}(R-2\Lambda) + \mathcal L_m\right) \sqrt{-g} \ d\Omega
\end{equation}
\begin{equation}
\delta S=\frac{1}{c}\int_\Omega \left(-\frac{c^4}{16\pi G} \left(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g^{\mu\nu}+\Lambda g^{\mu\nu}\right) + \frac{1}{2} \left(2\frac{\delta \mathcal L_m}{\delta g_{\mu\nu}}+\mathcal L_m g^{\mu\nu} \right)\right)\delta g_{\mu\nu}\sqrt{-g} \ d\Omega
\end{equation}

変分原理より基礎方程式(アインシュタイン方程式)は、

\begin{equation}
R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g^{\mu\nu}+\Lambda g^{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\left(2\frac{\delta \mathcal L_m}{\delta g_{\mu\nu}}+\mathcal L_m g^{\mu\nu}\right)=\frac{8\pi G}{c^4}T^{\mu\nu}
\end{equation}

となります。改めておさらいをすると、多様体を特徴づける変数 $g_{\mu\nu}$ を変化させていき、すなわち時空をいろんな歪み方をさせ、スカラー曲率を物質場とともに変分をとることにより、歪み方を探っていき、その作用が停留するところが実際の時空の歪み方を与えます。その物質に対する時空の応答の微分幾何学的な方程式がアインシュタイン方程式になっています。