【微分幾何】形作用素の導入

2020年、あけましておめでとうございます。新年になったので、リーマン幾何であらわれる形作用素というものを解説したいと思います。

ガウスの公式
ワインガルテンの公式

ガウスの公式

${\rm dim}\ M =n$ の多様体とユークリッド空間へのはめこみ $f:M\rightarrow \mathbb R^{n+1}$ があるとします。リーマン計量は、ユークリッド空間の標準内積を $\lt ,\gt$ として、各点で

$g_p(X_p,Y_p):=\left\lt(df)_p (X_p), (df)_p (Y_p)\right\gt$

のように誘導します。 $\mathfrak{X}(M)$ は $M$ のベクトル場全体で、 $\mathfrak{X}_f$ は $f$ に沿う $\mathbb R^{n+1}$ のベクトル場、 $D$ は $\mathbb R^{n+1}$ の標準の線形接続とし、 $D: \mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}_f\rightarrow \mathfrak{X}_f$ によって、単位法ベクトル場 $n$ として

$D_X df(Y)=df(\nabla_X Y)+h(X,Y)n$

と $M$ に直交する成分と接する成分に分解できます。 $h$ が第2基本形式です。この式で $\nabla_X Y$ を誘導しています。またこれをガウスの公式といいます。そして、実はこのようにして誘導した $\nabla$ はさきほど誘導したリーマン計量 $g$ に対するレビ-チビタ(リーマン)接続になっています*1。

ワインガルテンの公式

単位法ベクトル場は $\left\lt n,n\right\gt=1$ , $\left\lt D_X n,n\right\gt=0$ を満たすので、ある $Y\in T(M)$ が存在して、

$D_X n=df(Y)$

となります。 $Y$ は $X$ により定まるため、 $X\rightarrow Y:=-AX$ と書くことにすると、

$D_X n=-df(AX)$

となり、これをワインガルテンの公式といいます。ではなぜ $AX$ という記号を導入したかというと、 $A$ を作用としてみると、写像 $D_{\cdot} n:X\mapsto D_X n$ が線形写像であることから合成写像 $df\circ A:X\mapsto -df(AX)$ が線形写像であることがわかり、写像 $df:AX \mapsto -df(AX)$ が線形写像であることとから $A:X\mapsto AX$ が線形写像としてみなせるからです。 $A:T(M)\rightarrow T(M)$ すなわち $A\in T(M)\otimes T^*(M)$ です。この混合2階テンソル場 $A$ を形作用素といいます。単位法線ベクトル場の微分を考え、 $\mathbb R^{n+1}$ の中の $M$ という曲面の曲がり具合を表すものと捉えることができ、 $\mathbb R^{n+1}$ の中での $M$ の「形をつくっている」ことから形作用素といいます。この形作用素の性質やこれを考えることで何が嬉しいのかということはまた次回の記事にしたいと思います。