一般相対論の舞台は時空、そして時空は多様体です。(正確に言えばローレンツ多様体です。) つまり、多様体論を学ぶことは一般相対論を学ぶ上で必須となってきます。この記事の読者の対象は一般相対論を学ぼうとしている人とします。多様体というのは簡単いえば、地図を貼り付けられる図形のようなものです。地図を貼り付けられるというのが重要で、そのことによってさまざまな性質を課すことができます。
位相空間のお気持ち
多様体は位相空間のうち、地図が貼り付けられるものです。位相空間とは近さの概念をもつ集合ですが、近さの定め方はやや緩いです。まず、距離を定義した集合からいえる性質を抜き出して、距離という概念を取り払って、集合の元同士の近さや遠さという概念を、その部分集合に対して開集合という集まり方を定めることで定めることができます。これを用いることで、距離なしに連続性や極限の定義をすることができます。まずそのために距離空間から見ていきましょう。
距離空間の重要な3つの性質
まず距離空間とは
に対して
が成り立つものでした(距離空間の公理)。そして、点における近傍を
と定義します。ここで、の部分集合が開集合であることをの任意の点に対して、を十分に小さくとると、が成り立つことと定義します。(特にの'境界'でこれが成り立つことが閉集合との大きな違いです。) 距離をいれた空間における開集合の性質として次の3つが挙げられます。の開集合の集合(集合族)をとして、
が成り立ちます。
位相空間の定義
さきほどあげた3つの距離空間の性質として重要なことは、その主張に距離()が明示的に表れていないことです。ここでこの3つの性質を定義として、ある集合に対してその元同士の近さの概念が距離空間よりも抽象的に得られるのです。この3つだけでいいのは不思議ですが、受け入れることにします。ここで、集合とその部分集合族について、がの位相で、が位相空間であるとは、次の3つの条件が成り立つことこととします。
は開集合系ともいい、をの開集合といいます。(この補集合として閉集合が定義されます。) 要するに、予め開集合であるもの(開集合のあつまり)をとして定義しているということになります。それらが、距離空間で現れた開集合の性質を満たしているという前提で。
ハウスドルフ空間
ハウスドルフの公理とは、位相空間の任意の異なる2点に対して、それぞれを含む となるような開集合があることです。ハウスドルフの公理を満たす位相空間をハウスドルフ空間といいます。位相空間は一般にはハウスドルフ空間ではないです。ハウスドルフ空間は、開集合という近さの指標をもってして2点をしっかりと区別することができるという性質を持っているのです。
連続写像
位相空間には開集合をもってして近さを議論することができ、連続性を定義することができます。位相空間の間の写像があるとします。が連続写像であるとは、に対して、が成り立つことです。なぜこれで連続写像と言えるかというと、的に定めた連続写像の概念と一致するからです。これは位相のテキスト等に譲ることとします。が同相写像であるとは、が全単射で、とが連続写像であることです。の間に同相写像があるとき、とは位相同形であるといい、と表します。
多様体のお気持ち
多様体とは、まあまあいい性質をもった図形のことで、外在的には十分次元の大きいユークリッド空間に図形を置いて、その図形の上で動くことを扱いますが、これを外在的なユークリッド空間の存在なしに内在的に議論を進めることができます。しかし、この図形が曲がっていると従来のように関数の微分積分を考えたり、ベクトルを扱ったりすることができなくなるため、さまざまな工夫が必要となってきます。
位相多様体
位相空間が次元位相多様体であるとは、
2.は、すなわち、座標近傍の族(座標近傍系またはアトラス)があり、 となることです。
今後位相多様体であるような位相空間を単にさらには単にと表し、暗に適当な位相や座標近傍系が入っているものとします。