一般相対性理論は微分幾何学の理論で、割と数学的に綺麗に述べることができます。以下では簡潔に基礎方程式を得るまでを数学的に述べたいと思います。
Einstein方程式を得るまで
次元時空(一般相対性理論では)は、向き付けられた級[次元ローレンツ多様体[であり、擬Riemann計量がaffine接続と両立し、接続係数がLevi-Civita接続(Christoffelの記号)で、torsionは0だと考えます。この上の擬Riemann計量全体、から定まる逆計量テンソル、Riemann曲率テンソル、Ricci曲率テンソル、曲率スカラー、体積要素とするときに、次の汎関数
をEinstein-Hillbert作用といいます。光速、万有引力定数とします。物質場と定数を加えた作用
のに対する第一変分の方程式として、(上の積分は落として、*1Einstein方程式
を得ます。ただし、
です。Einstein方程式を満たすをEinstein計量、をEinstein空間といいます。
*1:厳密にはGibbons-Hawking-York項が必要です。https://fumofumobun.hatenablog.jp/entry/2019/12/05/015826