ぶちゅり

日々学んだ物理学や数学、化学に関することをメモしていきます。間違ったことを言っているかもしれません。英語版は.jp→.com。記事はサイレントに更新・訂正することがよくあります。

【微分幾何】リー群とリー代数(編集中)

リー群は様々なところで耳にします。今回の記事では、ゲージ理論の数学的定式化に向けて、リー群周りのことについて簡単にまとめていきます。

リー群の定義

GC^\infty級可微分多様体としての構造をもち、群演算G×G \rightarrow G ; (g,h) \mapsto ghG \rightarrow G ; g \mapsto g^{-1}多様体間の写像としてC^\infty写像であるとき、Gをリー群といいます。

左移動と右移動

写像L_g : G \rightarrow G ; h \mapsto L_gh=ghを左移動、R_g : G \rightarrow G ; h \mapsto R_gh=hgを右移動といいます。左(右)移動はC^\infty微分同相写像(L_g^{-1}(R_g^{-1}が存在して、Lg,L_g^{-1}(R_g, R_g^{-1}C^\infty級)です。以降、特に左移動について見ていきますが、右移動についても同様です。

左不変ベクトル場

L_gG単位元eにおける微分L_{g*e}:T_eG \rightarrow T_{L_ge}G=T_gGから、eでのある接ベクトルXに対して各点gでの接ベクトル\bar{X}_g := L_{g*e}(X)を定めることができます。これによりできるベクトル場\bar{X}:g \mapsto \bar{X}Xにより定まる左不変ベクトル場といいます。