【微分幾何】リー群とリー代数（編集中）

リー群は様々なところで耳にします。今回の記事では、ゲージ理論の数学的定式化に向けて、リー群周りのことについて簡単にまとめていきます。

リー群の定義
左移動と右移動
左不変ベクトル場

リー群の定義

群 $G$ が $C^\infty$ 級可微分多様体としての構造をもち、群演算 $G×G \rightarrow G ; (g,h) \mapsto gh$ と $G \rightarrow G ; g \mapsto g^{-1}$ が多様体間の写像として $C^\infty$ 級写像であるとき、 $G$ をリー群といいます。

左移動と右移動

写像 $L_g : G \rightarrow G ; h \mapsto L_gh=gh$ を左移動、 $R_g : G \rightarrow G ; h \mapsto R_gh=hg$ を右移動といいます。左(右)移動は $C^\infty$ 級微分同相写像 $(L_g^{-1}(R_g^{-1}$ が存在して、 $Lg,L_g^{-1}(R_g, R_g^{-1}$ が $C^\infty$ 級)です。以降、特に左移動について見ていきますが、右移動についても同様です。

左不変ベクトル場

$L_g$ の $G$ の単位元 $e$ における微分 $L_{g*e}$ : $T_eG \rightarrow T_{L_ge}G=T_gG$ から、 $e$ でのある接ベクトル $X$ に対して各点 $g$ での接ベクトル $\bar{X}_g := L_{g*e}(X)$ を定めることができます。これによりできるベクトル場 $\bar{X}:g \mapsto \bar{X}$ を $X$ により定まる左不変ベクトル場といいます。