【微分幾何】主ファイバー束

ゲージ理論は数学的にはファイバー束の言葉で記述されます。今回は主ファイバー束の定義をしていきます。

主ファイバー束の定義
射影
構造群の作用
局所自明性
参考文献

主ファイバー束の定義

$M$ 上の $G$ -主ファイバー束 $P$ とは、まず、 $M,P$ が $C^\infty$ 級微分可能多様体であり、 $G$ がリー群
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で、以下の条件を満たすことをいいます。 $M$ は底空間、 $G$ は構造群、 $P$ は主ファイバー束といいます。底空間と構造群を明記して $P(M,G)$ と書くこともあります。

1. 射影 $\pi :P\rightarrow M$ が存在する。

2. $G$ は $P$ に自由に右から作用し、その作用を施しても、射影したものは変わらない。

3. 局所自明性がある。

これら3つの条件です。これではわからないと思うのでひとつずつ解説していきます。

射影

射影 $\pi :P\rightarrow M$ は全射です。全射であればとりあえずはいいです。

構造群の作用

右からの作用は次のようにかけます。
$(u,a)\in P\times G\rightarrow ua\in P$
射影しても変わらないというのは次のことを意味しています。
$\pi(ua)=\pi(u)$
自由に作用というのは、
$ua=u$
となるような $a$ が単位元 $e\in G$ だけであるということです。
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局所自明性

定義をパッと見た時に $P=M\times G$ (積多様体)を連想したかと思いますが、局所自明性というのは局所的にはこのような自明なものになっているということです。つまり、各点 $x\in M$ に対して近傍 $U\ni x$ があり、少なくとも $\pi^{-1}(U)\subset P$ は $U\times G$ に対応させられるということです。そのような対応を微分同相写像 $\psi_U:\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times G$ としておきます。 $\psi_U(u)\in U\times G$ ですから、 $U$ のほうは $\pi(u)$ でよいと思います。 $G$ のほうを、 $C^\infty$ 級写像 $\phi_U:\pi^{-1}(U)\rightarrow G$ によって $\phi_U(u)$ として表せるとしましょう。
$\psi_U(u)=(\pi_U(u),\phi_U(u))$
です。 $\phi_U$ は $\phi_U(ua)=\phi_U(u)a$ を満たしておくとよいでしょう。図をみるとわかりやすいかとおもいます。
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