ぶちゅり

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【高校数学】積分による π > 3.05 の証明

高校数学

有名な東大入試の問題で、「円周率が3.05より大きいことを証明せよ。」というものがありますよね。これを積分による不等式評価で示してみます。

回答

回答

関数 $f$ を

$\displaystyle f(x)=\frac{x(1-x)^2(1+x-x^2+x^3)}{1+x^2}$

とします。ここで、 $g(x)=1+x-x^2+x^3$ とおくと、 $g'(x)=3x^2-2x+1$ で、二次方程式 $g'(x)=0$ の判別式を $D$ とすると、 $D=(-1)^2-3\cdot 1\lt 0$ なので実数全体で $g'(x)\gt 0$ です。 $g(0)=1$ なので、 $g(x)$ は少なくとも $0\leqq x\leqq 1$ で $g(x)\geqq 1$ ですね。よって、

$\displaystyle 0\lt \int_0^1 f(x)dx$

がただちにわかります。これを計算していきましょう。

$\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=\int_0^1\frac{x^2(1-x^4)}{1+x^2}dx+\int_0^1 x(1-x)^2dx$

第一項を $I$ , 第二項を $J$ とします。

$\displaystyle I =\int_0^1 \frac{x^2-4x^3+6x^4-4x^5+x^6}{1+x^2}dx$

$\displaystyle =\int_0^1 (-4+5x^2-4x^3+x^4)dx+4\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$

$\displaystyle =\left[ -4x+\frac{5}{3}x^3-x^4+\frac{1}{5}x^5 \right]_{x=0}^1+4\left[ d\theta\right] _{\theta = 0}^{\frac{\pi}{4}}$

$\displaystyle =-4+\frac{5}{3}-1+\frac{1}{5}+\pi$

ここだけで証明できるのですが、恣意的に被積分関数を用意したので $J$ も計算しましょう。

$\displaystyle J =\int_0^1(x-2x^3+x^3)dx$

$\displaystyle =\left[ \frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4 \right]_{x=0}^1$

$\displaystyle = \frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$

したがって、

$\displaystyle I+J=-4+\frac{5}{3}-1+\frac{1}{5}+\pi+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\gt 0$

$\displaystyle \pi\gt 3+\frac{1}{20}=3.05$