振り子の解は高校でのようにならったかと思います。これは1次の精度での近似解です。振り子は厳密に解くこともできます。しかし、その解はヤコビのsn関数という特殊関数や周期に第一種完全楕円積分などが用いられ、やや複雑です。この記事ではこれを精度をあ…

線形化した重力場は電磁場と同様に量子化することができます。電磁場の場合と比べながら量子化していきましょう。そして、古典的な波を量子化することによって、その波の粒子性というものを捉えることができます。この記事はレポートで出題された「重力波に…

多様体ではスカラーだったりベクトルだったりテンソルを考えましたが、これらを利用することで多様体が多様体自体を自分自身で、内在的に計る(測る)ことができます。そのために計量テンソルというものがまず重要になってきます。 計量テンソル 正規直交化 逆…

地図を貼り付けられる多様体上にはスカラーやベクトル、テンソルの構造が表れてきます。 多様体上の関数(スカラー場) 多様体間の写像 多様体上の反変(接)ベクトル 多様体上の反変ベクトル場 多様体上の共変(余接)ベクトル(コベクトル) 多様体上の共変ベクト…

一般相対論の舞台は時空、そして時空は多様体です。(正確に言えばローレンツ多様体です。) つまり、多様体論を学ぶことは一般相対論を学ぶ上で必須となってきます。この記事の読者の対象は一般相対論を学ぼうとしている人とします。多様体というのは簡単いえ…

アインシュタイン方程式は平坦なミンコフスキー時空からのずれとして1次の精度で書きあらわすことができます。こうすることで、そのままではかなり複雑なアインシュタインの重力理論を摂動的に捉え、定性的な議論をすることができます。 線形化 ゲージ固定 …

1次元波動方程式の導出をニュートン力学から導きます。(大学のレポートの問題にあって、そのコピペになります。) 方針 質点を繋げたモデルの運動方程式 連続極限 方針 まず、下の図のような 個の質点を糸で繋ぐモデルを考えます。 (,)でラベリングされ、いず…

2020年、あけましておめでとうございます。新年になったので、リーマン幾何であらわれる形作用素というものを解説したいと思います。 ガウスの公式 ワインガルテンの公式 ガウスの公式 の多様体とユークリッド空間へのはめこみがあるとします。リーマン計量…