ぶちゅり

日々学んだ物理学に関することをメモしていきます。コメントでのご指摘お願いします。

【場の古典論】一般ゲージ理論

場の古典論

一般ゲージ場論とは、電磁場のゲージ理論などを具体性にとらわれず、より一般的に述べた理論です。

\newcommand{\bm}{\boldsymbol}

ゲージ原理の一般化

電子場と電磁場の相互作用でみたゲージ原理を、任意の物質場とゲージ場に関して一般化してこれを物理の原理とすることを考えてみます。これを原理として現象がうまく説明できればゲージ理論の成功ということになります。ゲージ原理は次のように一般化されます。「N成分の場\phi(x)=(\phi^A(x))(添字Aは様々な種類の場の通し番号で、スピノルやテンソルの添字である)を、n個の連続パラメータ\epsilon^r(r=1,\cdots,n)で定まる線形Lie群Gの元\bm T(\epsilon)\in G\subset GL(N,\mathbb C)による大域一般ゲージ変換
\phi_A(x)\rightarrow \phi'_A(x)=(\bm T(\epsilon)\phi(x))_A=\bm T(\epsilon)_A^B\phi_B(x)
をするとき、\phi(x)の基礎方程式を定める作用が不変すなわち
S:=\int d^4x \mathcal L(\phi,\partial\phi)\rightarrow S'=\int d^4x \mathcal L(\phi',\partial\phi')=S
であるという大域一般ゲージ対称性を備えているとする。\bm T(0)は恒等変換である。連続パラメータ\epsilon^rを時空に依存する関数\xi^r(x)に置き換えた次の局所一般ゲージ変換
\phi_A(x)\rightarrow \phi'_A(x)=(\bm T(\xi(x))\phi(x))_A=\bm T(\xi(x))_A^B\phi_B(x)
をするとき、作用の対称性を回復させるように\mathcal L(\phi,\partial\phi)を修正するべし。」というのがゲージ原理に基づく問題を一般化した、一般ゲージ原理となります。

一般ゲージ場の導入

まず、大域一般ゲージ変換1本目の式の無限小変換で考えます。無限小変換をあとで積分すれば有限変換となるので、1次の精度の無限小変換で本質は尽きます。つまり、
\delta\phi_A(x):=\phi'_A(x)-\phi_A(x)=\epsilon^r (\bm G_r\phi(x))_A=\epsilon^r G_{r,A}^B\phi_B(x)
ただし、
\bm G_r:=\left.\frac{\partial \bm T(\epsilon)}{\partial\epsilon^r}\right|_{\epsilon=0}
であり、これはLie群GのLie代数\mathfrak gの生成元です。すなわち、\forall X\in\mathfrak gにはX=c^r \bm G_rと一意に表されるような係数c^rが存在します。そして、
[\bm G_r,\bm G]=C^t_{rs}\bm G_t
を満たすC^t_{rs}がGの構造定数です。さて、大域一般ゲージ対称性の要請の仮定によって\mathcal L(\phi,\partial\phi)は、
\delta\mathcal L=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_A}\delta\phi_A+\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi_A}\delta(\partial_\mu\phi_A)\\ =\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_A}\epsilon^r (\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi_A}\epsilon^r(\bm G_r\partial_\mu\phi_A)=0
で、微小パラメータの任意性より、
\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_A}(\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi_A}(\bm G_r\partial_\mu\phi)_A=0
が成り立っています。ここで、局所一般ゲージ変換におきかえると、今度は
\delta\phi_A=\xi^r (\bm G_r\phi)_A
のもとで、
\delta(\partial_\mu\phi_A)=\partial_\mu\phi'_A-\partial_\mu\phi_A\\ =\partial_\mu(\phi_A+\delta\phi_A)-\partial_\mu\phi_A\\ =\partial_\mu(\phi_A+\xi^r (\bm G_r\phi)_A)-\partial_\mu\phi_A\\ =(\bm G_r\partial_\mu\phi)_A\xi^r+ (\bm G_r\phi)_A\partial_\mu\xi^r
であることに注意して、
\delta\mathcal L=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_A}\delta\phi_A+\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi_A}\delta(\partial_\mu\phi_A)\\ =\left\{\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_A} (\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi_A}(\bm G_r\partial_\mu\phi)_A\right\}\xi^r+\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi_A}(\bm G_r\phi)_A\partial_\mu\xi^r\\ =\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi_A}(\bm G_r\phi)_A\partial_\mu\xi^r
とnon-zeroになります。これを打ち消すような新しい場A(x)=(A_J(x))(J=1,\cdots,X)を導入します。これを一般ゲージ場といいます。18本目の式の4n個の\partial_\mu\xi^r(x)に比例する項を\delta A_Jの適当な線形結合によって打ち消すには、X\leqq 4nでなければなりません。必要最小限の自由度を選ぶ、すなわちX=4nとすると、A_J=A^r_\muとかけます。無限小局所一般ゲージ変換、11本目の式に伴って、一般ゲージ場は
A^r_\mu(x)\rightarrow A'^r_\mu(x)=A^r_\mu(x)+N^r_{s\mu}(x) \xi^s(x) - \partial_\mu \xi^r(x)
と変換されるものと仮定します。つまり、
\delta A^r_\mu=N^r_{s\mu} \xi^s - \partial_\mu \xi^r
です。このN^r_{s\mu}を決定することが本質的な問題のひとつになっていきます。物質場\phiと一般ゲージ場Aが相互作用する系のラグランジアン密度を
\mathcal L'(\phi,\partial\phi,A)
とします。この関数形\mathcal L'を決定することが問題です。まず、\mathcal L'は一般ゲージ原理から一般局所ゲージ変換によって不変であるので、
\delta\mathcal L=\frac{\partial\mathcal L'}{\partial \phi_A}\delta\phi_A+\frac{\partial\mathcal L'}{\partial \partial_\mu\phi_A}\delta(\partial_\mu\phi_A)+\frac{\partial\mathcal L'}{\partial A^r_\mu}\delta A^r_\mu\\ =\frac{\partial\mathcal L'}{\partial \phi_A}\xi^r (\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L'}{\partial \partial_\mu\phi_A}\left((\bm G_r\partial_\mu\phi)_A\xi^r+ (\bm G_r\phi)_A\partial_\mu\xi^r\right)+\frac{\partial\mathcal L'}{\partial A^r_\mu}\left(N^r_{s\mu} \xi^s - \partial_\mu \xi^r\right)\\ =\left(\frac{\partial\mathcal L'}{\partial \phi_A}(\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L'}{\partial \partial_\mu\phi_A}(\bm G_r\partial_\mu\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L'}{\partial A^s_\mu}N^s_{r\mu}\right)\xi^r+\left( \frac{\partial\mathcal L'}{\partial \partial_\mu\phi_A}(\bm G_r\phi)_A-\frac{\partial\mathcal L'}{\partial A^r_\mu}\right)\partial_\mu \xi^r=0
が要請され、\xi^r, \partial_\mu\xi^rに対して恒等的に成り立つために、
\frac{\partial\mathcal L'}{\partial \phi_A}(\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L'}{\partial \partial_\mu\phi_A}(\bm G_r\partial_\mu\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L'}{\partial A^s_\mu}N^s_{r\mu}=0
\frac{\partial\mathcal L'}{\partial \partial_\mu\phi_A}(\bm G_r\phi)_A-\frac{\partial\mathcal L'}{\partial A^r_\mu}=0
です。まず、26本目の式は\mathcal L'の中には\partial_\mu\phi_A+A^r_\mu(\bm G_r\phi)_Aの形で含まれていることと同値です。これを次のようにまとめて、共変微分ということにします。
\nabla_\mu\phi_A:=\partial_\mu\phi_A+A^r_\mu(\bm G_r\phi)_A

微分幾何に慣れていれば27本目の式はゲージ場が接続に対応しているということがわかるかと思います。今回はこの数学的な話には深入りせず、計算を続けていきます(次回、微分幾何学とゲージ理論については勉強して別記事にあげていく予定です)。共変微分の形で含まれるということがわかったので、ラグランジアン密度を次のように書き直します
\mathcal L'(\phi,\partial\phi,A)=\mathcal L''(\phi,\nabla\phi)
したがって、合成関数のチェインルールから
\frac{\partial\mathcal L'}{\partial\phi_A}=\frac{\partial\mathcal L''}{\partial\phi_A}+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_B}\frac{\partial \nabla_\mu \phi_B}{\partial\phi_A}\\ =\frac{\partial\mathcal L''}{\partial\phi_A}+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_B}A^r_\mu (\bm G_r)_B^A
\frac{\partial\mathcal L'}{\partial\partial_\mu\phi_A}=\frac{\partial\mathcal L''}{\partial\phi_B}\frac{\partial\phi_B}{\partial\partial_\mu\phi_A}+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_B}\frac{\partial \nabla_\mu \phi_B}{\partial\partial_\mu\phi_A}\\ =\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}
\frac{\partial\mathcal L'}{\partial A^r_\mu}=\frac{\partial\mathcal L''}{\partial\phi_A}\frac{\partial\phi_A}{\partial A^r_\mu}+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}\frac{\partial \nabla_\mu \phi_A}{\partial A^r_\mu}\\ =\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}(\bm G_r\phi)_A
となります。これらを25本目の式式に代入します。
\left(\frac{\partial\mathcal L''}{\partial\phi_A}+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_B}A^s_\mu (\bm G_s)_B^A\right)(\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}(\bm G_r\partial_\mu\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}(\bm G_t\phi)_AN^t_{r\mu}\\ =\frac{\partial\mathcal L''}{\partial\phi_A}(\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}(\bm G_r\partial_\mu\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}\left((\bm G_t\phi)_AN^t_{r\mu}+A^s_\mu (\bm G_s \bm G_r\phi)_A\right)\\ =\frac{\partial\mathcal L''}{\partial\phi_A}(\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}(\bm G_r\nabla_\mu\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}\left((\bm G_t\phi)_AN^t_{r\mu}-A^s_\mu (\bm G_r \bm G_s\phi)_A+A^s_\mu (\bm G_s \bm G_r\phi)_A\right)\\ =\frac{\partial\mathcal L''}{\partial\phi_A}(\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}(\bm G_r\nabla_\mu\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}\left((\bm G_t\phi)_AN^t_{r\mu}-A^s_\mu ([\bm G_r, \bm G_s]\phi)_A\right)\\ =\frac{\partial\mathcal L''}{\partial\phi_A}(\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}(\bm G_r\nabla_\mu\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L''}{\partial \nabla_\mu \phi_A}(N^t_{r\mu}-C^t_{rs}A^s_\mu) (\bm G_t\phi)_A=0
\mathcal L''の関数形はこのままでは定められないのですが、\mathcal Lと同じ関数形だと仮定します。つまり、次を仮定します。
\mathcal L''(\phi,\nabla\phi)=\mathcal L(\phi,\nabla\phi)
\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_A}(\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L}{\partial \nabla_\mu \phi_A}(\bm G_r\nabla_\mu\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L}{\partial \nabla_\mu \phi_A}(N^t_{r\mu}-C^t_{rs}A^s_\mu) (\bm G_t\phi)_A=0
ここで、\nabla_\mu\phi_Aの変換性が\phi_Aの変換性と同じであることを要請します。すなわち、
\delta(\nabla_\mu\phi_A)=(\bm G_r\nabla_\mu\phi)_A\xi^r
を要請します。このもとで、8本目の式について、\mathcal Lの引数\partial_\mu\phi_Aが\nabla_\mu\phi_Aになっていて、かつ42本目の式が成り立っているので、大域ゲージ対称性の恒等式10本目の式が成り立ちます。
\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_A}(\bm G_r\phi)_A+\frac{\partial\mathcal L}{\partial\nabla_\mu\phi_A}(\bm G_r\nabla_\mu\phi)_A=0
これを41本目の式に代入して、
\frac{\partial\mathcal L}{\partial \nabla_\mu \phi_A}(N^t_{r\mu}-C^t_{rs}A^s_\mu) (\bm G_t\phi)_A=0
を得ます。これが恒等的に成り立つためには
N^t_{r\mu}=C^t_{rs}A^s_\mu
です。これによって、ゲージ場Aの変換則が決定され、問題のひとつが解決されました。
A^r_\mu\rightarrow A'^r_\mu=A^r_\mu+C^r_{st}A^t_\mu \xi^s - \partial_\mu \xi^r

一般ゲージ場の強さ

電磁場のときに倣って、一般的に共変微分に対してゲージ場の強さF^r_{\mu\nu}を定義します。それは、共変微分の非可換性を用いて、
([\nabla_\mu,\nabla_\nu]\phi)_A=\nabla_\mu(\partial_\nu\phi_A+A^r_\nu(\bm G_r\phi)_A)-\nabla_\nu(\partial_\mu\phi_A+A^r_\mu(\bm G_r\phi)_A)\\ =\partial_\mu(\partial_\nu\phi_A+A^r_\nu(\bm G_r\phi)_A)+A^s_\mu(\bm G_s)_A^B(\partial_\nu\phi_B+A^r_\nu(\bm G_r\phi)_B)\notag\\ \hspace{1em}-\partial_\nu(\partial_\mu\phi_A+A^r_\mu(\bm G_r\phi)_A)-A^s_\nu(\bm G_s)_A^B(\partial_\mu\phi_B+A^r_\mu(\bm G_r\phi)_B)\\ =\partial_\mu A^r_\nu(\bm G_r\phi)_A-\partial_\nu A^r_\mu(\bm G_r\phi)_A+A^s_\mu A^r_\nu(\bm G_s\bm G_r\phi)_A -A^s_\nu A^r_\mu(\bm G_s\bm G_r\phi)_A\\ =\partial_\mu A^r_\nu(\bm G_r\phi)_A-\partial_\nu A^r_\mu(\bm G_r\phi)_A+A^s_\mu A^t_\nu([\bm G_s\bm G_t]\phi)_A\\ =\partial_\mu A^r_\nu(\bm G_r\phi)_A-\partial_\nu A^r_\mu(\bm G_r\phi)_A+C^r_{st}A^s_\mu A^t_\nu(\bm G_r\phi)_A\\ =:F^r_{\mu\nu}(\bm G_r\phi)_A
つまり、
F^r_{\mu\nu}:=\partial_\mu A^r_\nu-\partial_\nu A^r_\mu+C^r_{st}A^s_\mu A^t_\nu
です。ゲージ場の強さの変換則は
F^r_{\mu\nu}\rightarrow F'^r_{\mu\nu}=\partial_\mu A'^r_\nu-\partial_\nu A'^r_\mu+C^r_{st}A'^s_\mu A'^t_\nu\\ =\partial_\mu (A^r_\nu+C^r_{st}A^t_\nu \xi^s - \partial_\nu \xi^r)-\partial_\nu (A^r_\mu+C^r_{st}A^t_\mu \xi^s - \partial_\mu \xi^r)\notag\\ \hspace{1em}+C^r_{st}(A^s_\mu+C^s_{pq}A^q_\mu \xi^p - \partial_\mu \xi^s) (A^t_\nu+C^t_{pq}A^q_\nu \xi^p - \partial_\nu \xi^t)\\ =F^r_{\mu\nu}+C^r_{ts}F^s_{\mu\nu}\xi^t
となります。

一般ゲージ場の方程式

一般ゲージ場の方程式は、一般ゲージ場の方程式を定める作用の候補として、まず要請されるのが相対論的に不変であることと局所一般ゲージ変換に対して不変であることです。一般ゲージ場の作用を
\mathcal L_0(A,\partial A)
とします。無限小ゲージ変換、46本目の式に対する不変性が要請されるので、
\delta\mathcal L_0=\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial A^r_\mu}\delta A^r_\mu+\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial \partial_\nu A^r_\mu}\delta(\partial_\nu A^r_\mu)\\ =\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial A^r_\mu}\delta A^r_\mu+\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial \partial_\nu A^r_\mu}\partial_\nu(\delta A^r_\mu)\\ =\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial A^r_\mu}(C^r_{st}A^t_\mu \xi^s - \partial_\mu \xi^r)+\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial \partial_\nu A^r_\mu}\partial_\nu(C^r_{st}A^t_\mu \xi^s - \partial_\mu \xi^r)\\ =\left(\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial A^r_\mu}C^s_{rt}A^t_\mu+\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial \partial_\nu A^r_\mu}C^s_{rt}\partial_\nu A^t_\mu\right)\xi^r+\left(-\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial A^r_\mu}+\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial \partial_\mu A^r_\nu}C^s_{rt}A^t_\nu\right)\partial_\mu\xi^r+\frac12\left(\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial \partial_\nu A^r_\mu}+\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial \partial_\mu A^r_\nu}\right)\partial_\nu\partial_\mu\xi^r
より、恒等式
\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial A^r_\mu}C^s_{rt}A^t_\mu+\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial \partial_\nu A^r_\mu}C^s_{rt}\partial_\nu A^t_\mu=0
\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial A^r_\mu}-\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial \partial_\mu A^r_\nu}C^s_{rt}A^t_\nu=0
\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial \partial_\nu A^r_\mu}+\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial \partial_\mu A^r_\nu}=0
を得ます。64本目の式より、26本目の式で考えたことと同様に、\partial_\nu A^r_\mu-\partial_\mu A^r_\nuの形で作用に含まれるということになります。\partial_\nu A^r_\mu-\partial_\mu A^r_\nuの代わりに、その形を含むF^r_{\mu\nu}で表すとします、すなわち
\mathcal L_0(A,\partial A)=\mathcal L_0'(A,F)
とします。すると、チェインルールより
\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial A^r_\mu}=\frac{\partial\mathcal L_0'}{\partial A^r_\mu}+2\frac{\partial\mathcal L_0'}{\partial F^s_{\mu\nu}}C^s_{rt}A^t_\nu
\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial_\mu\partial A^r_\nu}=2\frac{\partial\mathcal L_0'}{\partial F^r_{\mu\nu}}
となります。これらを63本目の式に代入すると、
\frac{\partial\mathcal L_0'}{\partial A^r_\mu}+2\frac{\partial\mathcal L_0'}{\partial F^s_{\mu\nu}}C^s_{rt}A^t_\nu=2\frac{\partial\mathcal L_0'}{\partial F^r_{\mu\nu}}C^s_{rt}A^t_\nu\\ \frac{\partial\mathcal L_0'}{\partial A^r_\mu}=0
ゆえ、\mathcal L_0'がF^r_{\mu\nu}のみに依るということになります。これで改めて、一般ゲージ場のラグランジアン密度を
\mathcal L_0(F)
とします。57本目の式の関数形とは異なることに注意してください。以上の要請からは、これ以上具体的にラグランジアン密度を定めることはできません。

参考文献

内山龍雄 (1987) 『一般ゲージ場論序説』 岩波書店.