【一般相対性理論】アインシュタイン方程式の線形化

アインシュタイン方程式は平坦なミンコフスキー時空からのずれとして1次の精度で書きあらわすことができます。こうすることで、そのままではかなり複雑なアインシュタインの重力理論を摂動的に捉え、定性的な議論をすることができます。

線形化
ゲージ固定

線形化

$\displaystyle R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

で、重力場を $h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-\eta_{\mu\nu}$ とします((ここで微分幾何的な見方を捨てていると思います。)。 $h_{\mu\nu}$ の1次の精度でアインシュタイン方程式を記述していきます。

$\displaystyle h^{\mu\nu}=g^{\mu\nu}+\eta^{\mu\nu}$

とすることにより、 $h_{\mu\nu}$ の添え字の上げ下げは1次の精度の範囲では $\eta_{\mu\nu}$ , $\eta^{\mu\nu}$ で行うことができます。また、以降、 $h:=h^\mu_\mu$ , $(\partial h)_\mu=\partial_\nu h^\nu_\mu$ , $\partial\partial h=\partial_\mu \partial_\nu h^{\mu\nu}$ という略記を用います。線形化は、まずレビ-チビタ接続の線形化から行ってみます。2次以上の項はどんどん落としていき、いちいち $\approx$ で結ばず、等号で結ぶこととします。

$\displaystyle 2\Gamma^\mu_{\nu\lambda}=g^{\mu\kappa}(\partial_\nu g_{\lambda\kappa}+\partial_\lambda g_{\nu\kappa}-\partial_\kappa g_{\nu\lambda})$
$\displaystyle =\eta^{\mu\kappa}(\partial_\nu h_{\lambda\kappa}+\partial_\lambda h_{\nu\kappa}-\partial_\kappa h_{\nu\lambda})$
$\displaystyle =\partial_\nu h^\mu_\lambda+\partial_\lambda h^\mu_\nu-\partial^\mu h_{\nu\lambda}$

$\displaystyle 2\partial_\mu \Gamma^\mu_{\nu\lambda}=\partial_\nu \partial_\mu h^\mu_\lambda+\partial_\lambda \partial_\mu h^\mu_\nu- \partial_\mu\partial^\mu h_{\nu\lambda}$
$\displaystyle =\partial_\nu (\partial h)_\lambda+\partial_\lambda(\partial h)_\nu-\Box h_{\nu\lambda}$

$\displaystyle 2\partial_\mu \Gamma^\lambda_{\nu\lambda}=\partial_\nu \partial_\mu h^\lambda_\lambda+\partial_\lambda \partial_\mu h^\lambda_\nu- \partial_\mu\partial^\lambda h_{\nu\lambda}$
$\displaystyle =\partial_\nu \partial_\mu h+\partial_\mu (\partial h)_\nu- \partial_\mu (\partial h)_\nu$
$\displaystyle =\partial_\mu \partial_\nu h$

$\displaystyle 2R_{\mu\nu}=\partial_\lambda 2\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\partial_\nu 2\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}$
$\displaystyle =\partial_\mu (\partial h)_\nu+\partial_\nu(\partial h)_\mu-\Box h_{\mu\nu}-\partial_\mu \partial_\nu h$

ここで、 $X_{\mu}:=(\partial h)_\mu -\frac{1}{2}\partial_\mu h$ とします。

$\displaystyle 2R_{\mu\nu}=-\Box h_{\mu\nu}+\partial_\mu X_\nu +\partial_\mu X_\mu$
$\displaystyle =-\Box h_{\mu\nu}+2\partial_{(\mu}X_{\nu)}$

$\displaystyle 2R=2R^\mu_\mu$
$\displaystyle =\partial^\mu (\partial h)_\mu+\partial_\mu(\partial h)^\mu-\Box h^\mu_\mu-\partial^\mu \partial_\mu h$
$\displaystyle =2\partial\partial h-2\Box h$

$\displaystyle R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=-\frac{1}{2}\Box h_{\mu\nu}+\partial_{(\mu}X_{\nu)}-\frac{1}{2}(\partial\partial h-\Box h)\eta_{\mu\nu}$

したがって、線形化アインシュタイン方程式は、

$\displaystyle -\frac{1}{2}\Box h_{\mu\nu}+\frac{1}{2}\partial_\mu(\partial h)_\nu +\frac{1}{2}\partial_\nu(\partial h)_\mu-\frac{1}{2}\partial_\mu \partial_\nu h -\frac{1}{2}(\partial\partial h-\Box h)\eta_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$

となります。

ゲージ固定

上の(一般的な)線形化アインシュタイン方程式はやや項が多く煩わしいので、ゲージ固定をすることを考えてみます、つまりある特別は座標系をとるということです。一般相対性原理(一般共変性)より、一般座標変換 $x^\mu\rightarrow x'^\mu = x^\mu +\epsilon^\mu$ により、重力場は

$\displaystyle \delta h_{\mu\nu}=-\partial_\mu \epsilon_\nu -\partial_\nu \epsilon_\mu$

というゲージ変換を受けます。もちろん変換を受けても重力理論は不変です。このゲージ変換の4つの自由度を用いて、

$\displaystyle X_\mu=0$

の4条件を課してローレンス-ゲージ固定します。このゲージ固定の下で、再び $\delta X_\mu=0$ を満たす座標変換をしてみます。すなわち

$\displaystyle \delta X_{\mu}:=(\partial \delta h)_\mu -\frac{1}{2}\partial_\mu \delta h$
$\displaystyle =-\partial^\nu(\partial_\mu \epsilon_\nu +\partial_\nu \epsilon_\mu)-\frac{1}{2}\partial_\mu(-2\partial \epsilon)$
$\displaystyle =-\partial_\mu(\partial \epsilon) -\Box \epsilon_\mu+\partial_\mu(\partial \epsilon)$
$\displaystyle =-\Box \epsilon_\mu=0$

$\Box \epsilon_\mu=0$ を満たす変換で、ローレンス-ゲージ固定を崩さないです。このような4つの自由度を用いて、さらに4条件

$\displaystyle h_{0i}=0,\ h=0$

を課ります。そうすると、ローレンス-ゲージ固定の条件式からただちに、 $(\partial h)_\mu=0$ がいえて、 $\partial\partial h=0$ もいえるので、このゲージ固定の下で線形化アインシュタイン方程式は、

$\displaystyle -\frac{1}{2}\Box h_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$

とすることができます。このうち、解に

$\displaystyle \Box h_{\mu\nu}=0$

を満たすものを加えたものもまた解になります。これを解いてみると、フーリエ分解で、

$\displaystyle h_{\mu\nu} = \int \frac{d^3\boldsymbol k}{\sqrt{(2\pi)^3 2k^0}}\sum_{\lambda=0}^3 \left(a(\boldsymbol k,\lambda )\epsilon_{\mu\nu} (\boldsymbol k,\lambda )e^{ikx}+a^{*}(\boldsymbol k,\lambda )\epsilon_{\mu\nu}^*(\boldsymbol k,\lambda)e^{-ikx}\right)$