【波動】波動方程式の導出

1次元波動方程式の導出をニュートン力学から導きます。(大学のレポートの問題にあって、そのコピペになります。)

方針
質点を繋げたモデルの運動方程式
連続極限

方針

まず、下の図のような $N$ 個の質点を糸で繋ぐモデルを考えます。 $i$ ( $i=0$ , $\cdots, N-1$ )でラベリングされ、いずれも質量 $m$ とします。すべての質点は $y$ 方向への運動が許され、 $x$ 方向への運動はしないものとし、ラベル $i$ の質点の位置を $(x_i(t),y_i(t))$ とします。各質点間の $x$ 方向の距離は $d$ すなわち、 $x_i(t)=id$ とします。すなわち、考えるべきは各質点の $y_i(t)$ の時間発展を $y$ 方向の1次元のニュートン力学の運動方程式で調べることです。また最後には連続的な弦とみなせるような極限を考えます。

質点を繋げたモデルの運動方程式

上の図のように両方向の糸から張力 $T$ を受けているとすると、ニュートンの運動方程式は

$\displaystyle m\ddot y_i=T\sin\theta_i -T\sin\theta_{i-1}$

です。質点の $y$ 方向への運動が微小だとして $\theta_i$ について線形近似を行うと、

$\displaystyle m\ddot y_i\approx T(\tan\theta_i -\tan\theta_{i-1})$
$\displaystyle=T\left(\frac{y_{i+1}-y_i}{d}-\frac{y_i-y_{i-1}}{d}\right)$
$\displaystyle=\frac{T}{d}\left(y_{i+1}-2y_i-y_{i-1}\right)$

となります。

連続極限

質点ではありますが、 $y_i(t)=u(x_i,t)$ のようにして場の考え方に近づけます。 $y_i(t)$ は $i$ でラベルされた $x_i$ 上にある時刻 $t$ での質点の $y$ 座標という意味ですが、 $u(x_i,t)$ は位置 $x_i$ , 時刻 $t$ におけるスカラー値であり、質点の位置である変数 $x_i$ が時刻と同じくパラメータ $x_i$ に格下げされたということになります。そしてこの置き換えをしたうえで、 $N\rightarrow\infty$ , $d\rightarrow 0$ で $Nd$ (弦の全長)や $m/d:\sigma$ (線密度)が有限となるような極限をとります。そうすると、運動方程式の左辺は、

$\displaystyle m\ddot y_i(t)=m\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x_i,t)$

右辺は、

$\displaystyle \frac{T}{d}\left(y_{i+1}-2y_i-y_{i-1}\right)$
$\displaystyle =\frac{T}{d}(u(x_{i+1},t)-2u(x_i,t)+u(x_i,t))$
$\displaystyle=\frac{T}{d}(u(id+d,t)-2u(id,t)+u(id-d,t))$
$\displaystyle=\frac{T}{d}\left(u(id,t)+\frac{\partial u}{\partial x}(id,t)d+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(id,t)d^2-2u(id,t)\right.$
$\displaystyle \hspace{3em}\left.+u(id,t)+\frac{\partial u}{\partial x}(id,t)(-d)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(id,t)(-d)^2+\mathcal O(d^3)\right)$
$\displaystyle=Td \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(id,t)+\mathcal O(d^2)$
$\displaystyle=Td \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t)+\mathcal O(d^2)$

なので、

$\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x_i,t)$
$\displaystyle =\frac{T}{m/d} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t)+\mathcal O(d^2/m)$
$\displaystyle=\frac{T}{\sigma} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t)+\mathcal O(d)$

よって、上で述べた極限では運動方程式は

$\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t)=\frac{T}{\sigma} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)=:v^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)$