ぶちゅり

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【高校数学】等差数列と等比数列の積で表される数列の和

高校数学

等差数列と等比数列の積で表される数列の和をかなり素早く求められる公式を僕が当時センター試験対策をしているときに編み出したので、受験生の助けになればと思ったので、紹介します。

 

公式の導出

\displaystyle a_n = (pn+q)r^{n-1}(r \not= 1)

という数列の和S_nを求めます。

\displaystyle a_{n+1} = (pn+q+p)r^{n-1}r =ra_n+pr \cdot r^{n-1}

ですね。ここで、

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k+1}=a_{n+1}+\sum_{k=1}^{n}a_{k}-a_1

に注意して両辺の総和をとると、

\displaystyle a_{n+1}+S_n-a_1=rS_n +pr \frac{r^n-1}{r-1}

\displaystyle S_n=\frac{a_{n+1}-a_1}{r-1} -pr \frac{r^n-1}{(r-1)^2}

a_nの形から次のような式に帰着できそうだということがわかります。

\displaystyle S_n=(An+B)r^n+C

これらの係数を具体的に求めていきましょう。

\displaystyle a_{n+1}-a_1=(pn+p+q)r^n-(p+q)

\displaystyle pr(r^n-1)=pr\cdot r^n-pr

であるので、

\displaystyle A=\frac{p}{r-1}

\displaystyle B=\frac{p+q}{r-1}-\frac{pr}{(r-1)^2}=\frac{q-\frac{p}{r-1}}{r-1}=\frac{q-A}{r-1}

\displaystyle C=-\frac{p+q}{r-1}+\frac{pr}{(r-1)^2}=-B

したがって、

\displaystyle Sn=(An+B)r^n-B

\displaystyle A=\frac{p}{r-1}, \ B=\frac{q-A}{r-1}

という公式が得られます。

 

例題

例題を解いて実際にこの公式が強力であることを見ていきましょう。また実際に手を動かして身につけなければ試験本番では武器になりません。

例題1.\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)\cdot3^{k-1}

 

\displaystyle A=\frac{2}{3-1}=1,\ B=\frac{-1-1}{2}=-1

\displaystyle S_n=\left(n-1\right)\cdot3^n+1

 

 

例題2.\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\cdot5^{k-1}

 

\displaystyle A=\frac{1}{5-1}=\frac{1}{4},\ B=\frac{0-\frac{1}{4}}{4}=-\frac{1}{16}

\displaystyle S_n=\left( \frac{1}{4}n-\frac{1}{16} \right)\cdot5^n+\frac{1}{16}

 

 

例題3.\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n-k+1)\cdot 3^{k-1}

 

\displaystyle A=\frac{-1}{3-1}=-\frac{1}{2},\ B=\frac{n+1+\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}

\displaystyle S_n=\left( -\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}n+\frac{3}{4} \right)\cdot3^n-\frac{1}{2}n-\frac{3}{4}

\displaystyle =\frac{3^{n+1}}{4}-\frac{1}{2}n-\frac{3}{4}

 

 

例題4.\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3k-2)x^{k-1}

 

x \not=1のとき、

\displaystyle A=\frac{3}{x-1},\ B=\frac{-2-\frac{3}{x-1}}{x-1}=-\frac{2x+1}{(x-1)^2}

\displaystyle S_n=\left\{ \frac{3n}{x-1}-\frac{2x+1}{(x-1)^2} \right\} x^n+\frac{2x+1}{(x-1)^2}

\displaystyle =\frac{(3n-2)x^{n+1}-(3n+1)x^n+2x+1}{(x-1)^2}

x=1のとき等差数列であって、

\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n(3n-1)

 

一般化

改めて記事にしようと思ったのは、これを一般化、拡張された方がいたからです。それを紹介できればいいなと思い改めて記事にしました。

hg.hatenablog.jpこちらです。余力があれば拡張された公式も使いこなせるといいかもですね。