【一般相対性理論】ギボンズ-ホーキング項とは

一般相対論で、アインシュタイン-ヒルベルト作用 $S_{EH}=\frac{1}{c}\int d^4x\sqrt{-g} \frac{c^4}{16\pi G}(R-2\Lambda)$ を $g_{\mu\nu}$ で物質場 $S_m$ とともに変分をとる*1と $\delta g_{\mu\nu}=0$ より、積分範囲が全時空あるいは積分領域の境界で十分に時空の歪みが減衰して平坦なときはアインシュタイン方程式 $-\frac{c^3}{16\pi G}\left(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}\right)+\frac{1}{2c}T^{\mu\nu}=0$ が得られます。しかし、有限の時空の領域 $\mathcal M$ で変分をとると条件 $\delta g_{\mu\nu}=0$ だけでは消えない $\partial\mathcal M$ 上の積分の境界項が出てきます。この項を今まで見ていなかった物理法則の現れとみるのではなく、この項を打ち消すような項を作用に加えて修正します。つまりアインシュタイン方程式自体は変わりません。その打ち消すための項がギボンズ-ホーキング境界項です。

この記事での記号
超曲面上での単位法線ベクトルと射影テンソル, 誘導計量*4
超曲面上でのストークスの定理
アインシュタイン-ヒルベルト作用の変分
ギボンズ-ホーキング項とその変分
アインシュタイン-ヒルベルト作用の修正
参考文献

この記事での記号

ローレンツ多様体 $\mathcal M$ ( ${\rm dim}M=D$ )の反変(接)ベクトル場全体を $\mathcal V(\mathcal M)$ 、共変ベクトル場(1次微分形式)全体を $\mathcal V^*(\mathcal M)$ 、 $r$ 階反変 $s$ 階共変テンソル場全体を $\mathcal T^r_s(\mathcal M)$ とします。*2 $\mathcal V(\mathcal M)$ の基底は $\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ 、 $\mathcal V^*(\mathcal M)$ の基底は $dx^\mu$ と表されます。 $\mathcal T^r_s(\mathcal M)$ の基底は $\frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}}\otimes\cdots\otimes\frac{\partial}{\partial x^{\mu_r}}\otimes dx^{\nu_1}\otimes\cdots\otimes dx^{\nu_s}$ ですね。また例えばある反変ベクトルが $\boldsymbol v=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ と表されていたとき、混乱のないように $\boldsymbol v$ 自体を反変ベクトル場といい、 $v^\mu$ を反変ベクトル場成分といいます。この記事では反変ベクトル場はボールド体で、成分は添え字付きで書くことにします。共変ベクトル場は $\boldsymbol v^*=v_\mu dx^\mu$ と書くことにします。 $r$ 階反変 $s$ 階共変テンソル場の場合は $\boldsymbol t^r_s=t^{\mu_1\cdots\mu_r}_{\nu_1\cdots\nu_s}\frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}}\otimes\cdots\otimes\frac{\partial}{\partial x^{\mu_r}}\otimes dx^{\nu_1}\otimes\cdots\otimes dx^{\nu_s}$ と書きます。計算上は基本的に反変ベクトル場ではなく、ある基底での成分で書かれることが多いです。*3 そして、 $\mathcal M$ の計量テンソル場を $\boldsymbol g=g_{\mu\nu}dx^\mu\otimes dx^\nu$ とします( $\boldsymbol g_2$ と書くべきですが、計量テンソル場が2階共変テンソル場であることは当たり前なので省略して書きません)。逆計量テンソル場 $\boldsymbol g^{-1}\in\mathcal T^2(\mathcal M)$ を $g^{\mu\nu}:=(\boldsymbol g^{-1})^{\mu\nu}$ とし, ある基底での計量テンソル場の表現行列の行列式を $g:={\rm det}(g_{\mu\nu})$ と書きます。 $(g_{\mu\nu})$ は $\boldsymbol g$ を線形写像 $\mathcal V(\mathcal M)\rightarrow\mathcal V^*(\mathcal M)$ としてみたときのその基底での表現行列です。

超曲面上での単位法線ベクトルと射影テンソル, 誘導計量*4

超曲面 $\partial\mathcal{M}$ 上の単位法線反変ベクトル場成分を $n^\mu$ とします。単位ベクトル場成分なので、 $n^\mu n_\mu=\epsilon(\boldsymbol n)=\pm 1$ です。当然ながら時間的な $\boldsymbol n$ は $\epsilon(\boldsymbol n)=-1$ で空間的な $\boldsymbol n$ は $\epsilon(\boldsymbol n)=+1$ です。この $\boldsymbol n$ あるいは $\boldsymbol n^*$ と直交する方向への射影をする写像としての役割を果たす2階混合テンソル場は $\partial M$ への射影テンソル場といいます。これを $\boldsymbol h^1_1=h_\mu^\nu \frac{\partial}{\partial x^\nu}\otimes dx^\mu \in\mathcal T^1_1(\mathcal M)$ として、

$h_\mu^\nu=\delta_\mu^\nu-\epsilon(\boldsymbol n)n_\mu n^\nu$

と表されます。実際にこれが射影としてはらたいているか確認してみましょう。 $\boldsymbol v$ を $\boldsymbol n$ と直交する方向へ射影するとします。(もう一つの射影があって、それは $\boldsymbol v^*$ を $\boldsymbol n^*$ と直交する方向へ射影します。 $\boldsymbol h^1_1$ を $\mathcal V(\mathcal M)\rightarrow \mathcal V(\mathcal M)$ という写像か $\mathcal V^*(\mathcal M)\rightarrow\mathcal V^*(\mathcal M)$ という写像として使うかの選択ができるので2種類あります。)直交するという条件から $\boldsymbol g(\boldsymbol n,\boldsymbol h^1_1(\boldsymbol v))=0$ が成立していれば良さそうですね。左辺を計算してみます。

$\boldsymbol g(\boldsymbol n,\boldsymbol h^1_1(\boldsymbol v))=g_{\mu\nu}n^\mu (\delta_{\lambda}^{\nu}-\epsilon(\boldsymbol n)n_{\lambda} n^{\nu})v^{\lambda}$

$=g_{\mu\nu}n^\mu (v^\nu -\epsilon(\boldsymbol n)n_\lambda v^\lambda n^\nu)$

$=g_{\mu\nu}n^\mu v^\nu -\epsilon(\boldsymbol n)^2 n_\lambda v^\lambda$

$=n_\nu v^\nu -n_\lambda v^\lambda=0$

確かに直交しています。これで(反変/共変)ベクトル場を $\partial M$ 上に射影する写像ができたということになります。

そして、 $\boldsymbol h_2:=\boldsymbol h^1_1(\boldsymbol g):=C^1_2(\boldsymbol h^1_1\otimes \boldsymbol g)$ を $\mathcal M$ 上の誘導計量テンソル場といいます(たぶんローカルな定義だと思います)。( $C^i_j$ は $i$ 番目の反変ベクトル場と $j$ 番目の共変ベクトル場のトレースをとるという縮約写像です。) $\mathcal M$ 上の誘導計量は $\mathcal M$ 上の反変ベクトル場を超曲面 $\partial\mathcal M$ 上へ射影し、計量します。誘導計量成分 $h_{\mu\nu}$ は

$h_{\mu\nu}=g_{\lambda\nu}h^\lambda_\mu=g_{\lambda\nu}(\delta^\lambda_\mu-\epsilon(\boldsymbol n)n_\mu n^\lambda)$

$=g_{\mu\nu}-\epsilon(\boldsymbol n)n_\mu n_\nu$

です。 $\mathcal M$ 上の誘導逆計量テンソル場 $\boldsymbol h^2:=\boldsymbol h^1_1(\boldsymbol g^{-1}):=C^1_1(\boldsymbol h^1_1\otimes \boldsymbol g^{-1})$ 成分は, $h^{\mu\nu}=g^{\mu\nu}-\epsilon(\boldsymbol n)n^\mu n^\nu$ , $h:={\rm det}(h_{\mu\nu})$ となります。超曲面 $\partial \mathcal M$ 上に座標 $(y^i)$ ( $i=1,\cdots, D-1$ )を貼り付けることにより、 $\partial \mathcal M$ 上の計量を誘導することができます。これを $\partial \mathcal M$ 上の誘導計量テンソル場 $\boldsymbol\gamma=\gamma_{ij}dy^i\otimes dy^j\in\mathcal T_2(\partial\mathcal M)$ といいます。この逆誘導計量テンソル場も同様に考えられて、 $\boldsymbol\gamma^{-1}=\gamma^{ij}\frac{\partial}{\partial y^i}\otimes\frac{\partial}{\partial y^j}\in\mathcal T^2(\partial\mathcal M)$ です。

$\mathcal M$ 上の計量、 $\mathcal M$ 上の誘導計量、 $\partial \mathcal M$ 上の誘導計量には次の関係があることが簡単な計算で確かめることができます。

$\displaystyle\gamma_{ij}=\frac{\partial x^\mu}{\partial y^i}\frac{\partial x^\nu}{\partial y^j}g_{\mu\nu}=\frac{\partial x^\mu}{\partial y^i}\frac{\partial x^\nu}{\partial y^j}h_{\mu\nu}$

また、 $e^\mu_i:=\frac{\partial x^\mu}{\partial y^i}$ , $\gamma:={\rm det}(\gamma_{ij})$ とします。

超曲面上でのストークスの定理

$\mathcal M$ に対して、 $D-1$ 形式は $(d^{D-1}x)_\mu=\frac{1}{(D-1)!}\epsilon_{\mu{\mu_1}\cdots{\mu_{D-1}}}dx^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_{D-1}}$ と定義されます。 $\epsilon_{\cdots}$ はレビ-チビタ記号で、 $\epsilon_{1\cdots D}=1$ です。そうすると、単位法線反変ベクトル場が $\boldsymbol n$ であるような超曲面 $\partial \mathcal M$ 上の面積要素 $d\Sigma$ は $d\Sigma:=n^\mu d\Sigma_\mu:=n^\mu (d^{D-1}x)_{\mu}\sqrt{-g}$ と定義されます。 $\mathcal M$ の体積要素 $d\Omega$ は $d^Dx\sqrt{-g}$ ですね。そうするとストークスの定理より次のように書かれることになります。(反変ベクトル場 $\boldsymbol v$ についてストークスの定理を適用するとします。)

$\displaystyle\int_{\mathcal M}d\Omega\nabla_\mu v^\mu=\int_{\mathcal M}d^Dx\sqrt{-g}\nabla_\mu v^\mu$

$=\displaystyle\int_{\mathcal M}d^Dx\partial_\mu(\sqrt{-g}v^\mu)$

$=\displaystyle\int_{\partial \mathcal M}(d^{D-1}x)_\mu \sqrt{-g}v^\mu$

$=\displaystyle\int_{\partial \mathcal M}d\Sigma_{\mu} v^\mu$

アインシュタイン-ヒルベルト作用の変分

境界項を落とさずに $\delta S_{EH}$ を計算してみましょう。これらの具体的な計算はイチから説明すると大変なので、一般相対論の標準的なテキストを参照してください。(この計算について今後記事にするつもりはあります。) 4次元時空を考え、 $D=4$ とします。

$\displaystyle\delta(\sqrt{-g}R)=-\sqrt{-g}\left(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg^{\mu\nu}\right)\delta g_{\mu\nu}+\partial_\lambda(\sqrt{-g}(g^{\lambda\mu}\nabla^\nu\delta g_{\mu\nu}-g^{\mu\nu}\nabla^\lambda\delta g_{\mu\nu}))$ なので、

$\displaystyle\delta S_{EH}=-\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\left(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg^{\mu\nu}+\Lambda g^{\mu\nu}\right)\delta g_{\mu\nu}$

$\displaystyle+\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\partial \mathcal M}d\Sigma\epsilon(\boldsymbol n)n_{\mu}(g^{\mu\lambda}\nabla^\nu\delta g_{\lambda\nu}-g^{\lambda\nu}\nabla^\mu\delta g_{\lambda\nu})$

となりますね。この第二項の境界項が問題なわけです。普通は、境界条件 $\delta g_{\mu\nu}=0$ と無限遠でこの境界項が消えるという要請をしていたのです。しかし、いまはそのような要請が使えません。境界条件からは $n^\mu \partial_\mu \delta g_{\nu\lambda}$ に比例した項が落とせません。落とせる項は $\partial\mathcal M$ 上の変化への射影 $h^{\mu\nu}\partial_\nu \delta g_{\mu\lambda}$ だけですね。 $\partial M$ 上での変化はないのですから。さて、第二項(境界項)は次のように書けます。

$\displaystyle\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\partial \mathcal M}d\Sigma\epsilon(\boldsymbol n)n_{\mu}(g^{\mu\lambda}\nabla^\nu\delta g_{\lambda\nu}-g^{\lambda\nu}\nabla^\mu\delta g_{\lambda\nu})$

$\displaystyle=\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\partial \mathcal M}d\Sigma\epsilon(\boldsymbol n)(n^\mu h^{\nu\lambda}\nabla_\lambda\delta g_{\mu\nu}-h^{\lambda\nu}n^\mu\nabla_\mu\delta g_{\lambda\nu})$

ギボンズ-ホーキング項とその変分

変分をとったときに、上の積分で表される項とちょうど打ち消すような項を作用に加えなければなりません。それがギボンズ-ホーキング項 $S_{GH}$ です。

$\displaystyle S_{GH}=\frac{c^3}{8\pi G}\int_{\partial M}d^3x \sqrt{|\gamma|}\epsilon(\boldsymbol n)K$

$\displaystyle K_{\mu\nu}:=\frac{1}{2}h^\lambda_\mu h^\kappa_\nu(\nabla_\lambda n_\kappa +\nabla_\kappa n_\lambda)$ , $K=h^{\mu\nu}K_{\mu\nu}=\nabla_\mu n^\mu$

です。これは外部曲率という幾何学的なものから考察はできるですが、ここではこれを加えることでアインシュタイン方程式が導かれることを確かめるということだけをします。(僕自身が外部曲率の理解をしていないというのもあります。)では $\delta S_{GH}$ を計算していきましょう。まず計算の本体となるのは、 $\delta(\sqrt{|\gamma|}K)=K\delta\sqrt{|\gamma|}+\sqrt{|\gamma|}\delta K$ なので、 $\delta\sqrt{|\gamma|}$ と $\delta K$ ですね。まず、誘導計量成分 $\gamma_{ij}$ は超曲面 $\partial\mathcal M$ 上で固定、すなわち $\delta \gamma_{ij}=0$ という要請をします。この要請は、時空の超曲面 $\partial\mathcal M$ 上での変化をさせないという要請になっています。各変分は、

$\displaystyle\delta n_\mu=\frac{1}{2}n_\mu n^\lambda n^\kappa\delta g_{\lambda\kappa}$

$\displaystyle\delta n^\mu=\delta(g^{\mu\nu}n_\nu)=\displaystyle\frac{1}{2}n_\mu n^\lambda n^\kappa\delta g_{\lambda\kappa}-g^{\mu\lambda}n^\eta\delta g_{\lambda\eta}$

$\displaystyle\delta\sqrt{|\gamma|}=\frac{1}{2}\sqrt{|\gamma|}h^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}$

となります。次に $\delta K$ を計算します。

$\delta K=\delta(\nabla_\mu n^\mu)$

$\displaystyle=\partial_\mu\delta n^\mu+\Gamma^\mu_{\mu\lambda}\delta n^\lambda+\delta\Gamma^\mu_{\mu\lambda}n^\lambda$

$=\nabla_\mu\delta n^\mu+\delta\Gamma^\mu_{\mu\lambda}n^\lambda$

$\displaystyle=\frac{1}{2}\epsilon(N)\nabla_\mu(n^\mu n^\lambda n^\kappa\delta g_{\lambda\kappa})-\nabla^\mu(n^\eta\delta g_{\mu\eta})+\delta\Gamma^\mu_{\mu\lambda}n^\lambda$

$\displaystyle=-\frac{1}{2}K^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}-\frac{1}{2}n^\mu(\nabla^\nu\delta g_{\mu\nu}-g^{\nu\lambda}\nabla_\mu\delta g_{\nu\lambda})-\frac{1}{2}h^{\mu\kappa}\nabla_\kappa(h^\nu_\mu n^\lambda\delta g_{\nu\lambda})$ *5

となります。したがって、

$\displaystyle\delta S_{GH}=\frac{c^3}{8\pi G}\int_{\partial\mathcal M}d^3x\epsilon(\boldsymbol n)\left(K\delta\sqrt{|\gamma|}+\sqrt{|\gamma|}\delta K\right)$

$\displaystyle=-\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\partial\mathcal M}d^3x\sqrt{|\gamma|}\epsilon(\boldsymbol n)\left(K^{\mu\nu}-Kh^{\mu\nu}\right)\delta g_{\mu\nu}$

$\displaystyle-\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\partial \mathcal M}d\Sigma\epsilon(\boldsymbol n)(n^\mu h^{\nu\lambda}\nabla_\lambda\delta g_{\mu\nu}-h^{\lambda\nu}n^\mu\nabla_\mu\delta g_{\lambda\nu})$

となります。

アインシュタイン-ヒルベルト作用の修正

アインシュタイン-ヒルベルト作用にギボンズ-ホーキング作用を加えて修正をすると、変分原理から正しくアインシュタイン方程式が導出されます。

$\displaystyle\delta S_{EH}+\delta S_{GH}=-\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\left(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg^{\mu\nu}+\Lambda g^{\mu\nu}\right)\delta g_{\mu\nu}$

$\displaystyle+\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\partial \mathcal M}d\Sigma\epsilon(\boldsymbol n)(n^\mu h^{\nu\lambda}\nabla_\lambda\delta g_{\mu\nu}-h^{\lambda\nu}n^\mu\nabla_\mu\delta g_{\lambda\nu})$

$\displaystyle-\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\partial\mathcal M}d^3x\sqrt{|\gamma|}\epsilon(\boldsymbol n)\left(K^{\mu\nu}-Kh^{\mu\nu}\right)\delta g_{\mu\nu}$

$\displaystyle-\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\partial \mathcal M}d\Sigma\epsilon(\boldsymbol n)(n^\mu h^{\nu\lambda}\nabla_\lambda\delta g_{\mu\nu}-h^{\lambda\nu}n^\mu\nabla_\mu\delta g_{\lambda\nu})$

$\displaystyle=-\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\left(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg^{\mu\nu}+\Lambda g^{\mu\nu}\right)\delta g_{\mu\nu}$

$\displaystyle-\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\partial\mathcal M}d^3x\sqrt{|\gamma|}\epsilon(\boldsymbol n)\left(K^{\mu\nu}-Kh^{\mu\nu}\right)\delta g_{\mu\nu}$

$\displaystyle=-\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\left(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg^{\mu\nu}+\Lambda g^{\mu\nu}\right)\delta g_{\mu\nu}$

下から二行目の第二項は境界条件 $\partial\mathcal M$ 上で $\delta g_{\mu\nu}=0$ から落とすことができます。そして、最後の式に対して変分原理を適用するとアインシュタイン方程式がでてきてます。

参考文献

福間将文 $\cdot$ 酒谷雄峰著, (2014), 「重力とエントロピー重力の熱力学的性質を理解するために」, サイエンス社, ISSN 03868257

*1:このときに変化させている $\delta g_{\mu\nu}$ というのは時空という多様体そのものを変化させています。物理的には時空を歪めているということになります。一般相対論として実現される正しい時空の歪み方を探っているのですね。時空を歪ませずに座標変換のみで変化を与えることも考えられますが、これは方程式を探るのではなく一般相対性原理から導かれる保存則を探っています。一般相対論におけるネーターの定理です。この区別は解析力学でいうと、「運動方程式を決定するために、解をずらして力学として実現される解を探るための変分」と、「その運動方程式が見つかった上で、対称性を利用して保存量を探るための変分」に対応します。個人的にはこの区別がつくことは基礎的で重要であり、また高度なことだと思います。混同しないように気を付けましょう。